Помогите с задачей! В прямоугольном треугольнике высота и медиана , проведенная из...

Question

55 просмотров

Помогите с задачей! В прямоугольном треугольнике высота и медиана , проведенная из вершины прямого угла делят этот угол на три равные части. Площадь треугольника , образуемого вершиной прямого угла и точками пересечения высоты и медианы с гипотенузой , равна $2 \sqrt{3}$ . Найдите площадь круга вписанного в исходный треугольник.

Геометрия Historymen_zn (35 баллов) 30 Март, 18 | 55 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят этот угол на три равные части. Площадь треугольника, образованного вершиной прямого угла и точками пересечения высоты и медианы с гипотенузой, равна 2√3. Найдите площадь круга, вписанного в исходный треугольник.
Площадь круга S=π r²
Радиус вписанного в треугольник круга =S:р, где
р - полупериметр треугольника, S- его площадь.
Высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят этот угол на три равные части.
Т.е. каждый угол получается равным 30°.
СМ, как медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе, равна АМ=МВ.
Треугольник СМВ - равнобедренный.
Т.к. угол МСН=углу НСВ=30°,  а СН⊥МВ, и угол МСВ=60°, то
СН является высотой и медианой треугольника МСВ, и этот треугольник - равносторонний .
Площадь⊿ МСН=площади⊿ НСВ.
Площадь △ МСВ=(2√3)*2=4√3
СМ - медиана, делит площадь треугольника АСМ на два равновеликих треугольника.
Площадь △АСМ=площади △СМВ.
Площадь ⊿ АСВ= 2 площади △СМВ
S⊿ АВС=4√3)*2=8√3 (единиц площади
-----------------
Повторим: радиус вписанного в треугольник круга =S:р, где
р - полупериметр треугольника,
S- его площадь.
Площадь мы нашли.
Вычислим полупериметр.
р=(АВ+АС+ВС):2
ВС как сторона равностороннего треугольника МВС равна МВ
МВ найдем из формулы площади равностороннего треугольника.
S=(a²√3):4
4√3 =(МВ²√3):4
МВ²=16
МВ=4
ВС=МВ=МС=4
Так как СМ медиана,  АВ=2 МС=2 МВ
АВ=4*2=8
АС=АВ*sin (60°)=4√3
р=(8+4+4√3):2=2*(3+√3)
r=(8√3):2*(3+√3)=(4√3):(3+√3)
Домножим числитель и знаменатель дроби на (3-√3) и по формуле сокращенного умножения получим:
  r=(8√3)*(3-√3):(9-3)=2(√3-1)
S=π*4*(√3-1)²=π*4*(4-2√3)=≈π*2,14=≈6,73 (единиц площади)
----------
bzs*

Hrisula_zn (228k баллов) 30 Март, 18