По условию АS=BS=CS- равные наклонные имеют равные проекции. Проекцией AS будет AO.
проекцией BS -отрезок BO,проекцией CS- отрезок СО.
АО=ВО=СО
значит точка О равноудалена от вершин треугольника АВС.
О- центр описанной окружности. А центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника - середина гипотенузы АВ
1) Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора
АВ²=АС²+ВС²
АВ²=18²+24²=324+576=900
АВ=30
АО=ВО=15
SO перпендикуляр к плоскости АВС. Поэтому треугольник ASO - прямоугольный.
2) Из прямоугольного треугольника ASO по теореме Пифагора
SO²=SA²-AO²=25²-15²=625-225=400
SO=20
3)
Так как SC₁=C₁C, то SA₁=A₁A и SB₁=B₁B
Треугольник А₁В₁С₁ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/2
A₁C₁=1/2 AC = 9
В₁С₁=1/2 ВС=12
А₁В₁=1/2 АВ= 15
SO₁=1/2 SO = 10
V(A₁B₁C₁ABC)=V(SABC)-V(SA₁B₁C₁)= 1/3 S(ΔABC)·SO - 1/3 S(ΔA₁B₁C₁)·SO₁=
=1/3·1/2 AC·BC·SO - 1/3·1/2·A₁C₁·B₁C₁·SO₁=1/6(18·24·20-9·12·10)=
=1/6·9·12·10(2·2·2-1)=1260 куб ед