АВСД - ромб. Т. О - пересечение диагоналей и центр впис. окр-ти.
Тр. АОД - прямоугольный, т.к. диагонали ромба перпендикулярны.
Проведем высоту ОК на гипотенузу АД - это и есть радиус впис. окр-ти.
ОК = 4, тогда по условию:
АО = АС/2 = 4*4/2 = 8
В пр. тр-ке АОК: ОК (катет) = 4, АО(гипотенуза)= 8
Значит угол КАО = 30 гр
Тогда из пр. тр-ка АОД:
АО/АД = cos30 = (кор3)/2, АД = 2АО/кор3 = 16/кор3
Тогда периметр ромба:
Р = 4*АД = 64/кор3 = (64кор3)/3
Ответ: (64кор3)/3