Решите систему: x+y=3pi/4 tg x - tg y =2

Question

Решите систему: x+y=3pi/4

tg x - tg y =2

Answer 1

x + y = 3*π/4

tg x - tg y = 2

 

x + y = 3*π/4

tg x - tg(3*π/4 - x) = 2

 

tg x - (tg 3*π/4 - tg x)/(1 + tg 3*π/4 * tg x) = 2

tg x - (-1 - tg x) / (1 - tg x) - 2 = 0

tg x + (1 + tg x)/(1 - tg x) - 2 = 0

Если  tg x ≠ 1 ,  то

tg x * (1 - tg x) + 1 + tg x - 2 * (1 - tg x) = 0

tg x - tg²x + 1 + tg x - 2 + 2 * tg x = 0

-tg²x + 4 * tg x - 1 = 0

tg²x - 4 * tg x + 1 = 0

tg x = 2 ± √ 3

x = arctg (2 ± √ 3) + π * n

Answer 2

По формуле разности тангенсов:

sin(x-y) / (cosx*cosy)  = 2

sin(x-y) = 2cosx*cosy

sin(x-y) = cos(x+y) + cos(x-y)

И с учетом  x+y=3pi/4:

sin(2x-3pi/4) - cos(2x - 3pi/4) = cos(3pi/4)

Теперь воспользуемся формулой перехода:

Asina + Bcosa = кор(A^2+B^2)*sin(a+ arctg(B/A)):

(кор2)sin(2x-3pi/4 - pi/4) = -(кор2)/2

sin(pi - 2x) = 1/2

sin2x = 1/2

2x = (-1)^k *pi/6  +  pik

x = (-1)^k *pi/12 + pik/2,  y = 3pi/4 - (-1)^k *pi/12 - pik,   k:  Z