Модуль числа
Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:
|а| = а
Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:
|а| = - а
Короче это записывают так:
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а) .
Модуль числа 5 равен 5, так как точка В (5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5
Расстояние точки М (-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6
Модуль
числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он
равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу.
Противоположные числа имеют равные модули:
|-а| = |а|
Модуль
числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом
отсчета 0, т. е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:
|0| = 0
На практике используют различные свойства модулей:
|а| ≥ 0
|а·b| = |а| · |b|
|а|n = аn, n є Z, a ≠ 0, n > 0
|а| = | - а|
|а + b| ≤ |а| + |b|
|а·q| = q·|а| , где q - положительное число
|а|2 = а2
Значение |a - b| равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.
Пример 1.
, т. к. < 0 ;
, т. к. < 0
Пример 2.
Упростить выражение, если a < 0.
Решение.
Так как по условию а < 0, то |а| = -а. В результате получаем
Ответ:
Пример 3.
Вычислить
Решение.
Имеем
Теперь раскроем знаки модулей.
Воспользуемся тем, что 1 < √ 3 < 2. Значит, √3 - 2 < 0, а √3 - 1 > 0.
Но тогда |√3 - 2| = -(√3 - 2) = 2- √3 ,
а |√3 - 1| = √3 - 1