Какой точечный заряд нужно поместить посередине между двумя точечными зарядами...

Q1/4

лучше обозначим имеющиеся заряды q1, q2. Искомый заряд q3, расстояние между q1 и q2 = r0

q1---------q3----------q2

понятно, что заряд должен быть отрицательным. Ищем модули сил.
Сила отталкивания между q1 и q2 должна равняться силе притяжения между q1 и q3
$F_1_2 = q_1^2/{(2r_0)}^2 = q_1^2/4r_0^2 = F_1_3= q_1q_3/r_0^2$
$q_2=q_1/4$
такая же сила F23 между q2 и q3.