С какой скоростью должен двигаться предмет,чтобы его продольная длина в состоянии...

Обозначим длину в состоянии покоя через L. По формуле Лоренцевого сокращения,
$\frac{L}{3}=L*\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}\\\frac{1}{3}=\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}\\\frac{1}{9}=1-(\frac{v}{c})^2\\(\frac{v}{c})^2=\frac{8}{9}\\v=\frac{2\sqrt{2}}{3}c$