Докажите ,что уравнение x=1+lnx имеет ровно один корень, и найдите этот корень .

Преобразуем уравнение к виду x-ln(x)=1. Рассмотрим фунцию, стоящую в его левой части.
$L(x)=x-\ln x;\\ D(L)=(0; +\infty);\\ L'(x)=1-\frac1x;$ .
При x>1 ее производная положительна, при 0L(1). Находим, что L(1)=1, откуда x=1 является решением уравнения, а любое другое число - нет.
Ответ: 1.