«Быть на короткой ноге» скопировано с французского etre sur un bon pied – буквально «быть на хорошей ноге» . Заметьте, на хорошей, а не короткой. Иногда в русском языке говорят иначе: «на дружеской ноге» , это отсюда же.
Из «хорошей» в «короткую» нога превратилась благодаря переносному значению последнего прилагательного. Короткий – значит «близкий, доверительный» , накоротке – «в близких, дружеских отношениях» .