Может ли остаться неизменной потенциальная энергия движущегося в электрическом поле...

Если есть поле значит есть градиент потенциала.
Напряженность E
$E= \frac{d\phi}{dx}$ - если Е не равно 0, то должен меняться потенциал (отношение потенциальной энергии к заряду)