1. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 +
11n делится на 6.
Доказательство.
1) Начало индукции. Проверим утверждение при
n = 1.
13 + 11∙ 1 = 12Так как 12 : 6 = 2, то
утверждение справедливо при n = 1.
2) Индуктивное
допущение. Предположим, что утверждение справедливо
при n = k, т. е. выражение k^3
+ 11k делится на 6.
3) Индуктивный шаг. Докажем, что
утверждение выполняется при
n = k +1.
(k+1)^3 + 11(k+1) = k^3
+ 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k(k + 1) +12.Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел
k или ( k + 1) является чётным,
поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6.По методу математической индукции получаем, что утверждение
справедливо при любом n∈N
остальные в 1) и 2)- делать аналогично.