Если (х,у) - какое-то решение системы, то т.к. х встречается только в
квадрате, то (-х, у) - тоже решение, Значит количество решений системы
всегда четное, за исключением случая, когда есть решение с х=0. В этом
случае y=A, и A=√3 или A=-√3.
1) Если A=√3, то y=x²+√3,
(x²+√3)²+x²=3
x⁴+(2√3+1)x²=0
x²(x²+2√3+1)=0
x=0; x²+2√3+1=0 действительных корней не имеет.
Итак, в этом случае 1 решение.
2) Если A=-√3, то y=x²-√3,
(x²-√3)²+x²=3
x⁴+(-2√3+1)x²=0
x²(x²-2√3+1)=0
x=0; x²=2√3-1>0 - дает еще два решения.
Итак, в этом случае 3 решения.
Все
это можно понять и из графиков. Первое уравнение задает окружность
радиусом √3, а второе - параболу y=x² сдвинутую на А по оси Оу. В силу
симметрии графиков относительно оси Оу, понятно что всегда будет четное
количество решений (либо не будет вообще). 1 решение или 3 возможны только в
случае, когда вершина параболы y=x²+A совпадает с верхней или нижней
точкой окружности, т.е. при A=√3 или А=-√3. В первом случае, очевидно
одно решение. А во втором не так очевидно, что 3 решения, но это проверяется,
как я сделал выше.