Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства log0,3 (x +54)《 2log0,3...

$log_{0.3}(x+54) \leq 2log_{0.3}(x-2)$

ОДЗ:

0} \atop {x-2>0}} \right." alt=" \left \{ {{x+54>0} \atop {x-2>0}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">

-54} \atop {x>2}} \right." alt=" \left \{ {{x>-54} \atop {x>2}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">

2" alt="x>2" align="absmiddle" class="latex-formula">

$log_{0.3}(x+54) \leq log_{0.3}(x-2)^{2}$ - т.к. основания логарифмов меньше 1, то выражения сравниваются с противоположным знаком

$(x+54) \geq (x-2)^{2}$
$x+54 \geq x^{2}-2*2x+4$
$x^{2}-4x+4-x-54 \leq 0$

$x^{2}-5x-50 \leq 0$
$x^{2}-5x-50=0, D=25+4*50=225=15^{2}$
$x_{1}=\frac{5-15}{2}=-\frac{10}{2}=-5$
$x_{2}=\frac{5+15}{2}=\frac{20}{2}=10$

Решаем неравенство методом интервалов, получается:
$-5 \leq x \leq 10$

Наложим на получившееся решение условие ОДЗ:
$2<x \leq 10$

Наименьшее целое решение неравенства: 3
Наибольшее целое решение неравенства: 10
Их сумма равна: 3+10=13

Ответ: 13