Найти многочлен f(x) минимальной степени,который в точках: принимает значения: Решение...

f(x+1)-f(x)=2x+1;

f(x)=x^2+a+2x+1

f(x)=x^2+2x+3

Точек пять, значит минимальный многочлен, который задается этими точками четвертой (5-1=4)степени

Будем его искать в следующем виде

$P(x)=C_1+C_2(x-x_1)+C_3(x-x_1)(x-x_2)+C_4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)+C_5(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4);$

$P(4)=27;\\ C_0=27;$

$P(3)=18=27+c_2(3-4)=27-c_2;\\ c_2=\frac{18-27}{3-4}=9;$

$P(2)=11=27+9*(2-4)+c_3(2-3)*(2-4);\\ C_3=\frac{11-9}{1*2}=1;$

$P(1)=6=27-9*(1-3)+(1-3)*(1-2)+c_4*(1-3)*(1-2)*(1-1);\\ C_4=-\frac{6-47}{1*2*3}=-\frac{41}{6};$

$P(-1)=2=27+9*(-1-3)+(-1-3)*(-1-2)-\frac{41}{6}*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)+\\ c_5*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)*(-1-4);\\ c_5=\frac{2-113}{4*3*2*5}=-\frac{37}{40};$

окончательно

$P(x)=27+9(x-4)+(x-4)(x-3)-\frac{41}{6}(x-4)(x-3)(x-2)-\frac{37}{40}(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)$