Составить уравнение геометрического места точек равноудалённых от точки а(-2,5) и данной...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Парабола— геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки.
y+1=0
A(-2;5)
Пусть $(x_0,y_0)$ - координаты каждой точки искомой кривой. Расстояние d от точки $(x_0,y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ определяется формулой:
$d=| \frac{Ax_0+By_0+C}{ \sqrt{A^2+B^2} } |=| \frac{0*x_0+1*y_0+1}{ \sqrt{0+1} } |=|y_0+1|$
Тогда, используя формулу расстояния между двумя точками, получим:
$\sqrt{(x_0+2)^2+(y_0-5)^2} =|y_0+1| \\ (x_0+2)^2+(y_0-5)^2=(y_0+1)^2$
Возводим обе части в квадрат и получаем уравнение искомой кривой, заменив всюду $(x_0;y_0)$ на $(x;y)$
$(x+2)^2+(y-5)^2=(y+1)^2 \\ x^{2} +4x+4+y^2-10y+25-y^2-2y-1=0 \\ x^{2} +4x-12y+28=0$
Приводим в квадратичную форму $B= x^{2}$ к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
$B= \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)$
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
$(1-\lambda)x_1+0y_1=0 \\ 0x_1+(0-\lambda)y_1=0$
Характеристическое уравнение:
$\left|\begin{array}{cc}1-\lambda&0\\0&0-\lambda\end{array}\right|=\lambda^2-\lambda=0$
$\lambda_1=1;\lambda_2=0$

$(x+2)^2=12y-24$
Получили уравнение параболы:
$(x+2)^2=2*6(y-2)$
Ветви направлены вверх p>0; вершина расположена в точке (-2;2).
Параметр р=6.
Координаты фокуса:
$F(x_0;p/2)=F(-2;-6/2)=F(-2;-3)$
Уравнение директрисы:
$y=y_0-p/2=2-3=-1$

Anastsiia_zn (8.9k баллов) 31 Март, 18