Дан квадрат со стороной b, в него вписана окружность, в эту окружность вновь вписан...

Question

Дан квадрат со стороной b, в него вписана окружность, в эту окружность вновь вписан квадрат так, что стороны вновь получившегося квадрата параллельным сторонам данного квадрата. В этот квадрат опять вписана окружность и т.д. до бесконечности. найдите сумму площадей всех полученных квадратов, а также сумму длин всех полученных окружностей.

Answer 1

Диаметр окружности равен стороне описанного квадрата и диагонали вписанного. Поэтому у квадрата №2 диагональ равна стороне квадрата №1, то есть b; поэтому площадь второго квадрата в 2 раза меньше, чем у первого. Бесконечная сумма площадей выглядит так
b^2*(1 + 1/2 + 1/4 + ....) = 2*b^2; это просто геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1/2;
Линейные размеры двух последовательных окружностей связаны так же, как и линейные размеры последовательных квадратов (а - почему?), то есть длина первой окружности π*b; второй π*b/√2 и так далее, сумма длин окружностей будет такая
π*b(1+ 1/√2 + 1/2 + 1/2√2 + ...) = π*b/(1 - 1/√2) = π*b*√2*(√2 + 1) = π*b*(2 + √2)

Comments

спасибо

---

В задачнике сумма площадей другая: (Пи * b^2)/2 квадратных единиц

---

да неужели:))) и пи откуда там? с неба свалилось?

---

если надо найти сумму площадей всех кругов, то это и в самом деле π*b^2/2; насколько я понимаю, в задаче это не спрашивалось :))))

---

Ясно. Спасибо