Предположим, что это неверно. Пусть все команды сыграли разное число матчей. Т.к. команд 16, то больше 15 матчей команда сыграть не могла. Т.к. команд 16, то должны быть все числа от 0 до 15 среди количеств сыгранных матчей. Но тогда одна команда не играла ни с кем, а другая играла с остальными 15. Получили противоречие, значит, исходное предположение неверно, и в любой момент есть такие две команды, которые сыграли одинаковое число матчей.