Показать, что функция y=x*e^(-x^2/2) удовлетворяет уравнению x*y'=(1-x^2)y

Question

Показать, что функция y=x*e^(-x^2/2) удовлетворяет уравнению x*y'=(1-x^2)y

Answer 1

xdy/dx=(1-x^2)y

dy/y=dx(1/x-x)

интегрируя левую и правую часть имеем

lny=lnx-x^2/2

y=e^lnx*e^(-x^2/2)=x*e(-x^2/2)

можно и так, но сложнее

y'=e^(-x^2/2)-x*e^(-x^2/2)*x=e^(-x^2/2)(1-x^2)

умножаем левую и правую части на х

x*y'=y(1-x^2)