1) Обозначим высоту h.
Эта высота равна √(15² - 12²) = √(225-144) = √81 = 9 см.
Основание равно √(h² + 3²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10.
Периметр треугольника Р = 15*2 + 3√10 = 30 + 3√10 = 3(10+√10).
Площадь S = (1/2) h*15 = (1/2)*9*15 = 67.5 см².
2) Высота трапеции равна H = 16√2*sin 45° = 16√2*(√2/2) = 16 см.
Проекция большей боковой стороны на нижнее основание равна с = 16√2*cos 45° = 16√2*(√2/2) = 16 см.
Верхнее основание равно а = √(20² - Н²) = √(400 - 256) = √144 =
= 12 см.
Нижнее основание равно в= а + с = 16 + 12 = 28 см.
Периметр трапеции равен Р = 6√2+16+12+28 = 56 + 16√2 =
8(7 + 2√2) см.
Площадь S = ((a+b)/2)*H =((12+28)/2)*16 = 20*16 = 320 см².
3) медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Запишем квадраты медиан (а - гипотенуза, в и с - катеты):
Ma = a²/4 Mb = c²+b²/4 Mc = b²+c²/4
Сумма квадратов медиан равна:
Σ = a²/4 + c²+b²/4 + b²+c²/4.
Заменим в² + с² = а² и b²/4 + c²/4 = а²/4, получим:
Σ = a²/4 +а² + a²/4 = 6а²/4 = 3а²/2.