3sin(в квадрате)2х+10sin2x+3=0

Пусть $\sin2x=t$ , при условии, что $|t| \leq 1$ , будем иметь

$3t^2+10t+3=0$

$D=b^2-4ac=10^2-4\cdot3\cdot3=64$

D>0, то квадратное уравнение имеет 2 корня

$\displaystyle t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-10+8}{2\cdot3} =- \frac{1}{3}$

$t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-10-8}{2\cdot3} =-3$ - не удовлетворяет условию

Обратная замена

$\sin2x=- \frac{1}{3} \\ \\ 2x=(-1)^{k+1}\cdot\arcsin\frac{1}{3} + \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x= \frac{1}{2} (-1)^{k+1}\cdot\arcsin\frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2} ,k \in \mathbb{Z}}$