В трапецию можно вписать окружность тогда, когда сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.
Пусть, дана трапеция АВСD с основаниями АС и ВD; AB = CD (AB и CD - боковые стороны равнобедр. трапеции)
Следовательно, если окружность вписана в трапецию, то:
АС + BD = AB + CD, т.к. AB = CD =>
АС + BD = 2AB
Пусть, XY - средняя линия. Тогда
XY = (AC + BD) / 2
C учетом вышесказанного:
XY = (AC + BD) / 2 = 2AB / 2 = AB
Т.е. XY = AB, Ч.Т.Д.