Пусть N - наименьшее натуральное число, которое дает различные остатки от деления на...

Положим что наше число четное , то есть $N=2x$ , тогда
$\frac{2x}{2}=x$ то есть остаток от деления на $2$ равен $0$ , для второго $\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}$ , и очевидно либо число делится, либо остаток равен $2$ , то есть запишем все формально
$N=2x+0\\ N=4y+2$ , так как остатки различные , а остатки при делений числа $N$ равны $0;2$ , но в первом так же равна $0$ , отсюда и остаток $2$ .
Далее
$N=8z+z_{1}$ , где $z_{1}$ остаток ,положим что он равен $3$ , тогда переходим к уравнению
$8z+3=2x\\ z=\frac{2x-3}{8}$ , но число $2x \neq 19n+8$ , то есть такой остаток не возможен , положим что он равен $4$
$z=\frac{2x-4}{8}$ видно что такие числа существуют.
Теперь видим зависимость что остатки будут первым четными числами
$N=2014q+z_{2014}\\ z=2012$
ответ $2012$

Пусть N - наименьшее натуральное число, которое дает различные остатки от деления **...