Высоты треугольника равны m,n и p.Найдите радиус вписанной окружности.

пусть стороны треугольника равны $a;b;c$ опущенные к ним высота соответственно равны $m;p;n$ .
Так как площадь треугольника можно вычислить
$cn=2pr\\ am=2pr\\ bp=2pr$
откуда
$c=\frac{2pr}{n}\\ a=\frac{2pr}{m}\\ b=\frac{2pr}{p}$
то полупериметр
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2pr(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})}{2}\\ r(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})=1\\ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}=\frac{1}{r}$
откуда радиус
$r=\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}}=\frac{mnp}{mn+mp+np}$