[КОМБИНАТОРИКА] Решить систему уравнений с сочетаниями.

Сначала решаем второе уравнение, расписывая число сочетаний по формуле:
$C_x^2=66;\\ \frac{x!}{2!*(x-2)!}=66;\\ \frac{x*(x-1)*(x-2)!}{2*(x-2)!}=66;\\ x(x-1)=66*2.$
Последнее уравнение - квадратное, его корни 12 и (-11), но поскольку отрицательные числа в комбинаторике не рассматриваются, то x=12.

Теперь находим y из первого уравнения:
$C_{12}^y=C_{12}^{y+2};\\ \frac{12!}{y!*(12-y)!}=\frac{12!}{(y+2)!*(10-y)!};\\$
Числители одинаковы, знаменатели всегда положительны, значит, знаменатели равны:
$y!*(12-y)!=(y+2)!*(10-y)!;\\ y!*((12-y)*(11-y)*(10-y)!)=((y+2)*(y+1)*y!)*(10-y)!;\\ (12-y)(11-y)=(y+1)(y+2);\\ y^2-23y+132=y^2+3y+2;\\ 130=26y;\\ y=5.$
Так как полученное y - целое неотрицательное, то оно действительно является решением.

Ответ: (12, 5)