Решите, пожалуйста, систему уравнений

$\left \{ {{x^2+xy+y^2=37} \atop {x+xy+y=19}} \right.$
Произведем замену переменных
Пусть x+y=u, xy=v, тогда имеем:

$\left \{ {{u^2-v=37} \atop {v+u=19}} \right.$

Из уравнения 2 выразим переменную u

$\left \{ {{u^2-v=37} \atop {u=19-v}} \right.$

Подставим вместо переменной u найденное выражение

$(19-v)^2-v=37 \\ v^2-39v+324=0$
По т. Виета
$\left \{ {{v_1+v_2=39} \atop {v_1\cdot v_2=324}} \right. \to \left \{ {{v_1=12} \atop {v_2=27}} \right.$

Если v=12, то u=7
Если v=27, то u=-8

Вовзращаемся к замене

$\left \{ {{xy=12} \atop {x+y=7}} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left \{ {{xy=27} \atop {x+y=-8}} \right. \\ \left \{ {{x_1=4\,\,y_1=3} \atop {x_2=3\,\,y_2=4}} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \O$

Ответ: $(4;3),\,(3;4).$