Сначала ОДЗ
Система из 4 выражений:
{x^2 - 4x + 5 > 0; {D < 0; x ∈R
x^2 - 4x + 5 ≠1; x^2 - 4 x + 4 ≠ 0; x ≠ 2;
3x^2 + 4x + 1 >0; 3(x+1)(x+1/3) > 0; x < - 1 U x > - 1/3;
4x^2 + 1 >0; x∈R;
После пересечения всех условий получаем ОДЗ х ∈ (- ∞; - 1) U (- 1/3; 2) U(2; + ∞)
Теперь само решение.
После того, как квадрат степени в основании логарифма вынесем вперед как 1/2 и сократим его с 2, стоящей перед логарифмов, выражение приведется к такому виду:
log(x^2- 4x +5) _(4x^2 +1) ≤ log(x^2 - 4x+5)_(3x^2 + 4x + 1).
Видно, что в основании одно и то же выражение слева и справа.
Воспользуемся условием равносильности знаков.
loga_b ≤ loga_c; ⇔ (a -1) *(b - c) ≤ 0 при a>0; a≠1; b>0; c>0.
(x^2 - 4 x + 5 - 1) *(4x^2 + 1 - 3x^2 - 4x - 1) ≤ 0;
(x^2 - 4x + 4) *(x^2 - 4x) ≤ 0;
(x-2)^2 * x * (x-4) ≤ 0;
Получили 3 корня,х = 2; х = 0; x = 4. Hо х = 2 - это корень четной степени, и при переходе через него знак неравенства не меняется. Используем метод интервалов.
+ -- четн -- +
________[0]__________[2]__________[4]_______ x
Видно, что неравенство выполняется при х∈ [0; 4].
Теперь пересекаем с ОДЗ и получаем ответ
х ∈[0; 2) U (2; 4]