1) f(x) = x + (4 / x).
Для построения графика нужен расчет точек графика:
х
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
у=х+(4/х)
-5 -4.333 -4 -5 ###### 5 4 4.3333 5
Область определения функции.Точки, в которых функция точно неопределена:x1 = 0. Точки пересечения с осью координат X. График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 4
x + - = 0
x Решения не найдено, график не пересекает ось X. Точки пересечения с осью координат Y. График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x + 4/x.4
-
0. Результат:f(0) = zooзн. f(x) не пересекает .
Экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd
--(f(x)) = 0
dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d
--(f(x)) =
dx 4
1 - -- = 0
2
x Решаем это уравнение. Корни этого ур-ния x1 = -2, x2 = 2Значит, экстремумы в точках:(-2, -4)(2, 4)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 2Максимумы функции в точках:x2 = -2Убывает на промежутках(-oo, -2] U [2, oo)Возрастает на промежутках[-2, 2] Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2
d
---(f(x)) = 0
2
dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2
d
---(f(x)) =
2
dx 8
-- = 0
3
x Решаем это уравнение Решения не найдены, перегибов у функции нет Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 0 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 4
lim x + - = -oo
x->-oo x значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 4
lim x + - = oo
x->oo x значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 4/x, делённой на x при x->+oo и x->-oo 4
x + -
x
lim ----- = 1
x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева:y = x, 4
x + -
x
lim ----- = 1
x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа:y = x. Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 4 4
x + -- = -x - --
1 1
x x - Нет 4 -4
x + -- = --x - ---
1 1
x x - Да, значит, функция является нечётной.
2) Эта функция исследуется аналогично.