Существует ли такое натуральное число n, что число n^2 представимо в виде суммы квадратов...

Заметим что если положить к примеру $a=2x$ , то есть что оно четное , тогда следует что $b;c$ не четные , отсюда следует что можно рассмотреть два случая , когда все нечетные , либо когда одно число четное
четный случаи
$a=2x\\ 4x^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2$
$4x^2+4y^2+4y+4z^2+4z+2=n^2$ , квадрат сравним по модулю $4$ с $0;1$ , то есть при делений на $4$ остатки равны $0;1$ когда $n=$ четное и нечетное соответственно
но $4(x^2+y^2+z^2+y+z)+2$ , остаток равен $2$ значит не может быть такого случая
второй когда все нечетные
$(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2\\ 4(x^2+y^2+z^2)+4(x+y+z)+3=n^2$
остаток в этом случае равен $3$ $3 \equiv \ mod \ 4$ , что противоречит , так как остатки могут быть равны $0;1$

Значит нет таких чисел