треугольнике ABC AC=CB=10см, угол A=30 градусов,
BK- перпендикуляр у плоскости треугольника и равен 5 см. Найти
расстояние от K до AC
Рассмотрим образованную пирамиду АВСК. КВ
перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной
в грани АСК из вершины К на АС. По теореме о трех перпендикулярах ее
проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку
пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН.
Рассмотрим
основание пирамиды - треугольник АВС. Он равнобедренный АС=ВС=10, с
углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С
на АВ - СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и
медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ - прямоугольный, с
одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против
этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см). По
теореме Пифагора найдем второй катет СМ:
CM=sqrt(AC2-AM2)
CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3
BH-
проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН
перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны:
АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС
НВ/МС=АВ/АС
НВ=МС*АВ/АС
НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3
Треугольник КНВ - прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС). По теореме Пифагора найдем КН:
KH2=KB2+HB2
KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)