Если ваш учитель сверяет морфемный разбор по словарю, то в Морфемно-орфографическом словаре Тихонова это слово разобрано так:
осторожн- – корень,
-ый - окончание
То есть в современном русском мы не можем назвать однокоренными, например, слова «сторож» или «сторожить» (чтобы выделить корень –сторож-).
Поэтому однокоренные будут: осторожность, осторожно, осторожничать.