Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM так, что...

Очевидно что вершина $M$ будет симметрична относительно сторона $AD;BC$ , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна $x$ .
Так как треугольник $ABM$ - равносторонний , следует что $MBC=90а-60а=30а$ , $BCK= \frac{90а}{2}=45а$ .
$AM=BM=x$
$BK=x*\frac{sin45а}{sin(180а-45а-30а)}=(\sqrt{3}-1)x$
Тогда $MK=x-BK=x(2-\sqrt{3})$
$BH=\frac{2x}{\sqrt{3}}\\ HC=\frac{x}{\sqrt{3}}$
то есть $HM=BH-x=\frac{x(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$
откуда $CM=\sqrt{2-\sqrt{3}}x$

Теперь положим что $CK=CM$ верно , тогда должно выполнятся условие $KCM+MCH=45а$

найдем эти углы
по теореме косинусов подставим известные величины
$MK^2=2CK^2-2CK^2*cosKCM\\ HM^2=CK^2+HC^2-2*CK*HC*cosMCH$
откуда

$KCM+MCH=arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+arccos(\frac{1}{2*\sqrt{2-\sqrt{3}}}) =30а+15а=45а$
то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно
$CK=CM$