Это выражение связано с книгой. У старых книг переплеты были массивные. Их делали из целого куска дерева и обтягивали кожей. Книги имели большую ценность, после чтения их запирали на застежки.
Прочитать всю книгу от начала до конца — значит прочитать от доски до доски, от корки до корки.