Решить уравнение P.S. - [] - не модуль. Тема: целые числа части

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$[tg x]\cdot \sqrt{3-tg^2x} =tg x$

Область допустимих значений уравнения определяем по условию:
$- \sqrt{3} \leq tg x \leq \sqrt{3}$ . Поэтому [tg x] может имееть значение только при -1; 0; 1. Итак, имеем 4 систем уравнений
$\left \{ {{[tgx]=-2} \atop { \sqrt{3-tg^2x}=- \frac{1}{2}tg x, }} \right.$ или $\left \{ {{\sqrt{3-tg^2x}=-tg x} \atop {[tgx]=-1}} \right.$ или $\left \{ {{[tg x]=0} \atop {tg x=0}} \right.$
или $\left \{ {{[tg x]=1} \atop {\sqrt{3-tg^2x}=tg x}} \right.$
Упростим и получим такие уравнения
$\left \{ {{-\sqrt{3} \leq tg x< -1} \atop {tg x=- \sqrt{ \frac{12}{5} } }} \right.$ или $\left \{ {{-1 \leq tg x< 0} \atop {tg x=-\sqrt{ \frac{3}{2} } }} \right.$ или $tg x=0$
или $\left \{ {{1 \leq tg x<\sqrt{3}} \atop {tg x=\sqrt{ \frac{3}{2} } }} \right.$
Подробное решение каждой системы:
$\left \{ {{-\sqrt{3} \leq tg x<1} \atop {sqrt{3-tg^2x}= -\frac{1}{2}tgx }} \right.$
Возведем оба части до квадрата
$\sqrt{3-tg^2x} =( \frac{1}{2} tg x)^2 \\ 3-tg^2x= \frac{1}{4} tg^2x|\cdot 4 \\ 12-4tg^2x=tg^2x \\ tg^2x= \frac{12}{5} \\ tg x=\pm \sqrt{\frac{12}{5} }$
Корнем этого уравнени будет только $-\sqrt{\frac{12}{5} }$ , а корень $x=\sqrt{\frac{12}{5} }$ не пренадлежит промежутку [-√3;-1)

$\left \{ {{-1 \leq tg x<0} \atop { \sqrt{3-tg^2x} =-tg x}} \right.$
Возведем оба части до квадрата
$3-tg^2x=tg^2x \\ tg x=\pm \sqrt{ \frac{3}{2} }$
$\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$ ∉ [-1;0)

$tg x=0 \\ x=\pi n,n \in Z$

$\left \{ {{1 \leq tg x<\sqrt{3}} \atop { \sqrt{3-tg^2x} =tg x}} \right.$
Возведем оба части до квадрата
$(\sqrt{3-tg^2x})^2=tg^2x \\ 3-tg^2x=tg^2x \\ tg x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$
решением этого уравнения будет корень $x =\sqrt{\frac{3}{2}}$
Корни уравнения
$x_1=-arctg\sqrt{ \frac{12}{5} } +\pi n.n \in Z \\ x_2=\pi k, k \in Z \\ x_3=arctg\sqrt{ \frac{3}{2} } +\pi m.m \in Z$

аноним 01 Апр, 18