Область допустимих значений уравнения определяем по условию:

. Поэтому [tg x] может имееть значение только при -1; 0; 1. Итак, имеем 4 систем уравнений
![\left \{ {{[tgx]=-2} \atop { \sqrt{3-tg^2x}=- \frac{1}{2}tg x, }} \right. \left \{ {{[tgx]=-2} \atop { \sqrt{3-tg^2x}=- \frac{1}{2}tg x, }} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B%5Btgx%5D%3D-2%7D+%5Catop+%7B+%5Csqrt%7B3-tg%5E2x%7D%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dtg+x%2C++%7D%7D+%5Cright.+)
или
![\left \{ {{\sqrt{3-tg^2x}=-tg x} \atop {[tgx]=-1}} \right. \left \{ {{\sqrt{3-tg^2x}=-tg x} \atop {[tgx]=-1}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B%5Csqrt%7B3-tg%5E2x%7D%3D-tg+x%7D+%5Catop+%7B%5Btgx%5D%3D-1%7D%7D+%5Cright.+)
или
или
Упростим и получим такие уравнения

или

или
или
Подробное решение каждой системы:
Возведем оба части до квадрата
Корнем этого уравнени будет только

, а корень

не пренадлежит промежутку [-√3;-1)
Возведем оба части до квадрата

∉ [-1;0)
Возведем оба части до квадрата
решением этого уравнения будет корень
Корни уравнения