Я думаю, когда-то очень давно в русском языке деепричастий не было. Русские люди общались, прекрасно понимали друг друга, хотя и не использовали деепричастия. Наверное, речь их была не такая компактная, не такая выразительная, но все же понятной.
Давайте проделаем эксперимент: возьмем какую-нибудь фразу с деепричастиями и попробуем избавиться от них, используя другие языковые средства. Вот предложение: "Стрела, пролетев метров двадцать и вонзившись в дерево, задрожала, издавая вибрирующий звук". Здесь у нас три деепричастия. Попробуем сказать то же самое, но без деепричастий. У нас получится что-то вроде этого: "Стрела сначала пролетела двадцать метров, потом вонзилась в дерево, задрожала и издавала при этом вибрирующий звук". По смыслу все то же самое, но предложение получилось какое-то неинтересное, перегруженное глаголами и дополнительными словами.
Вот так и возникла потребность, с одной стороны, упростить речевые формы, избавиться от утомительного повторения однообразных глагольных форм и излишних дополнительных слов, а с другой стороны, дать возможность глаголу выражать какие-то добавочные значения, сделать речь более выразительной и приятной. Другими словами, возникла потребность придумать такую глагольную форму, в которой одновременно сочетались бы и значение, смысл глагола и некие другие добавочные значения (в нашем примере, СНАЧАЛА, ПОТОМ, ПРИ ЭТОМ и т.п., но могут быть также значения определенной последовательности действий и др.).
Так, на основе глагола, стала постепенно формироваться некая новая форма, использовавшая имевшиеся на тот момент суффиксы. Сегодня, возможно, эти суффиксы имеют уже другой вид, все ведь изменяется. Сегодня это суффиксы -а, -я ("мыч-а, дума-я") для настоящего времени несовершенного вида, или -в, -вши, -ши ("придума-в, пролете-вши") для прошедшего совершенного вида и т.п.
Такая вот моя гипотеза о происхождении деепричастий.