Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, считая...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

По основной теореме арифметики любое натуральное число n можно разложить на простые множители, а именно, его можно записать в виде:
$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k}$ , причем это представление единственное с точностью до перестановки множителей (здесь $p_i$ - различные простые и $a_i\ge1$ ). Любой положительный делитель d числа n (включая 1 и само n) имеет такой же вид $d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{b_k}$ , только $0\le b_i\le a_i$ . Поскольку каждое $b_i$ может принимать $a_i+1$ значение, то количество делителей числа n равно $(a_1+1)(a_2+1)\cdot\ldots\cdot(a_k+1)$ .

В искомом числе это произведение равно $55=5\cdot11$ , т.е. либо число состоит из одного простого, и тогда $a_1+1=55$ , либо число состоит из двух простых, и тогда $a_1+1=5, \ \ a_2+1=11$ . Чтобы число было наименьшим, простые, входящие в его разложение, должны быть минимально возможными, т.е. равны 2 и 3, причем у большего простого должна быть меньшая степень. Таким образом, возможны два варианта для искомого числа: $n=2^{54}$ или $n=2^{10}3^4$ . Поскольку второе число, очевидно, меньше первого, то ответ $2^{10}3^4=82944$ .

Denik777_zn (56.6k баллов) 01 Апр, 18