Раскладываем квадратный трехчлен в числителе на множители:
x^2 + 7x + 10 = 0
Находим корни по теореме, обратной теореме Виета:
x1 = -2
x2 = -5
Тогда трехчлен раскладывается на следующие множители:
x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
Возвращаемся к функции:
Получаем дробь (x + 1)(x + 2)(x + 5)/(x + 2)
Дробь сократимая на (х + 2), но т.к. (х + 2) стоит в знаменателе, то x не должен быть равен -2
Итак, у нас функция: y = (x + 1)(x + 5); (x не равен -2)
Раскрываем скобки, получаем:
y = x^2 + 6x + 5
Теперь у нас квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент перед x^2 положительный)
Найдем координаты вершины параболы:
абсцисса (х) = -b/a = -6/2 = -3
ордината (у) = (-3)^2 + 6*(-3) + 5 = 9 -18 + 5 = -4
Точка с координатами (-3;-4) - вершина параболы.
Строим параболу (думаю, справитесь самостоятельно.)
Теперь найдем значения m, при которых прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Это встречается в двух местах:
1) на вершине параболы следовательно m будет равно ординате (у) вершины праболы, т.е. m=-4
2) как мы помним, у нас было условие, что x не должен равняться -2, следовательно точка, которая должна лежать на параболе с абсциссой -2 отсутствует, значит ордината этой точки и будет вторым искомым значенимем m.
Подставляем в наше уравнение -2 вместо х:
y=(-2)^2 + 6*(-2) + 5 = -3.
m = -3 -второе значение