25 баллов за два примера.Решать только под цифрами 1.Кто решит-солью подобные за более...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

6. Уравнение прямой записано в виде $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0}p$ . Значит, $\overline{m}\left\{3;\;4;\;2\right\}$ - направляющий вектор прямой.
Уравнение плоскости задано в виде Ax+By+Cz+D=0. Значит, $\overline{n_1}\left\{2;\;-3;\;1\right\}$ - нормальный вектор к плоскости.
Обозначим координаты нормального к искомой плоскости вектора $\overline{n_2}\left\{\alpha;\;\beta;\;\gamma\right\}$
Этот вектор перпендикулярен векторам m и n1. Значит, их скалярные произведения равны 0.
$\begin{cases}(\overline{n_2},\;\overline{m})=0\\(\overline{n_2},\;\overline{n_1})=0\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3\alpha+4\beta+2\gamma=0\\2\alpha-3\beta+\gamma=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6\alpha+8\beta+4\gamma=0\\6\alpha-9\beta+3\gamma=0\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}18\beta+\gamma=0\\2\alpha-3\beta+\gamma=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\gamma=-18\beta\\2\alpha-3\beta-18\beta=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\gamma=-18\beta\\\alpha=10,5\beta\end{cases}$
При $\beta=2$ получим $\overline{n_2}\left\{21,\;2,\;-36\right\}$
Чтобы найти точку М лежащую на искомой плоскости, найдём любую точку, лежащую на прямой l.
Возьмём координату x = -3.
$0=\frac{y+3}4=\frac z2$ , откуда y = -3, z=0. Получили точку $M(-3;\;-3;\;0)$
Уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору n2:
$21(x+3)+2(y+3)-36z=0\\21x+2x-36z+69=0$

8. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид
$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{array}\right|=0\\\left|\begin{array}{ccc}x-2&y+3&z-4\\-5&4&-6\\2&-2&-5\end{array}\right|=0\\(x-2)(-20-12)-(y+3)(25+12)+(z-4)(10-8)=0\\-32\cdot(x-2)-37(y+3)+2(z-4)=0\\-32x-37y+2z-55=0$
Расстояние от точки до плоскости
$\delta=\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\\delta=\frac{-32\cdot1-37\cdot(-2)+2\cdot3-55}{\sqrt{1024+1369+4}}=\frac{-7}{\sqrt{2397}}\\|\delta|=\frac7{\sqrt{2397}}$

P.S. Проверяйте, когда будете переписывать - мог и обсчитаться где.

Trover_zn (317k баллов) 01 Апр, 18