Объясните, пожалуйста, как работать с корнями в основании логарифмов. Буду крайне...

Самое удобное - переводить логарифм к удобному основанию по формуле:
$\log_a b= \frac{\log_c b}{\log_c a}$
Например в 41.5(б) можно так:
$\log_{\sqrt{2}} 2 \sqrt{8} = \frac{\log_2 2^{1+3/2}}{\log_2 2^{1/2}}= \frac{5/2}{1/2} =5$
Удобное основание логарифма здесь 2, ну и воспользовались тем, что
$2 \sqrt{8} = 2\cdot (2^3)^{1/2}=2^{1+3/2}=2^{5/2}$