докажите что для всех натуральных n справедливо тождество 1*1! + 2*2! +...+ n*n! =(n+1)!...

Question

докажите что для всех натуральных n справедливо тождество 1*1! + 2*2! +...+ n*n! =(n+1)! - 1. Здесь К! = 1*2*...*К

Answer 1

для n=2:1*1!+2*2!=(2+1)!-1=5 верно

для n=3:1*1!+2*2!+3*3!=(3+1)!-1=23 верно

 пксть верно для n:1*1! + 2*2! +...+ n*n! =(n+1)! - 1

докажем для n+1:  1*1! + 2*2! +...+ n*n! +(n+1)*(n+1)!=(n+2)! - 1

так как 1*1! + 2*2! +...+ n*n! +(n+1)*(n+1)!=(n+1)! - 1+(n+1)*(n+1)!

и

(n+1)! - 1+(n+1)*(n+1)!=(n+1)!*((n+1)+1)-1=(n+1)!*(n+2)-1=(n+2)! - 1

т.е.1*1! + 2*2! +...+ n*n! +(n+1)*(n+1)!=(n+2)! - 1

Таким образом методом математической индукции доказали тождество.