f(x) = (3-x)² / (4*(x - 1))
Область определения функции. Точки, в которых функция точно не определена:x1 = 1
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (3 - x)² = 0
Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение x1 =3
Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в (3 - x)^2/(4*(x - 1)). 2
(3 - 0)
--------
4*(-1) Результат:f(0) = -9/4Точка:(0, -9/4)
Экстремумы функции Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd
--(f(x)) = 0
dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d
--(f(x)) =
dx 2
1 (3 - x)
---------*(-6 + 2*x) - ---------- = 0
4*(x - 1) 2
4*(x - 1) Решаем это уравнение Корни этого уравнения x1 = -1 x2 = 3 Значит экстремумы в точках:(-1, -2)(3, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 3 Максимумы функции в точках:x2 = -1 Убывает на промежутках(-oo, -1] U [3, oo)Возрастает на промежутках[-1, 3]
Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2
d
---(f(x)) = 0
2
dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2
d
---(f(x)) =
2
dx 2
(-3 + x) 2*(-3 + x)
1 + --------- - ----------
2 -1 + x
(-1 + x)
-------------------------- = 0
2*(-1 + x) Решаем это уравнение Решения не найдены-перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 1 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 2
(3 - x)
lim --------- = -oo
x->-oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 2
(3 - x)
lim --------- = oo
x->oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3 - x)^2/(4*(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x->-oo 2 1
(3 - x) *---------
4*(x - 1)
lim ------------------ = 1/4
x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева: x
y = -
4 2 1
(3 - x) *---------
4*(x - 1)
lim ------------------ = 1/4
x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа: x
y = -
4
Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 2 2
(3 - x) (3 + x)
------------ = ------------
1 1
(4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет 2 2
(3 - x) (3 + x)
------------ = - ------------
1 1
(4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет, значит, функция не является ни чётной ни нечётной
