5
Воспользуемся для доказательства неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим.
Его идея такова: если a и b - неотрицательные числа, то справедливо неравенство
a + b >= 2sqrt(ab)
Воспользуемся этим.
a + b >= 2sqrt(ab)
a + 2 >= 2sqrt(2a)
b + 2 >= 2sqrt(2b)
В силу того, что значения переменных у нас неотрицательны, перемножим неравенства(они тем более одного знака):
(a+b)(a+2)(b+2) >= 8sqrt(ab * 2a * 2b) = 8sqrt(4a^2 * b^2) = 8 * 2ab = 16ab
Итак, неравенство доказано.
3(а)
Ведём замену.
Пусть x + y = a, xy = b, тогда
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b.
Запишем систему теперь в новых переменных:
a^2 - 2b = 26
b = 5
Из первого уравнения находим a:
a^2 - 10 = 26
a^2 = 36
a = +-6
Рассмотрим два случая для a:
1)a = 6, тогда после возвращения к прежним переменным получим:
x + y = 6 y = 6 - x y = 6 - x
xy = 5 x(6-x) = 5 6x - x^2 = 5
Рассматриваем последнее уравнение:
x^2 - 6x + 5 = 0
x1 = 5; x2 = 1
Для каждого из этих случаев находим y:
а)x = 5, y = 6 - 5 = 1
б)x = 1, y = 6 - 1 = 5
Таким образом, две пары решений мы уже получили.
2)Пусть a = -6 Тогда аналогично
x + y = -6 y = -6 - x y = -6 - x
xy = 5 x(-6-x) = 5 -6x - x^2 = 5
рассматриваем последнее уравнение:
x^2 + 6x + 5 = 0
x1 = -5; x2 = -1
Для каждого из случаев получаем свой y:
а)x = -5, y = -6 + 5 = -1
б)x = -1, y = -6 + 1 = -5
Таким образом, решения системы:
(5;1); (1;5); (-5;-1);(-1;-5)
2
перенесём квадратный корень вправо.
sqrt(7-3x) <= 1 + 6x<br>Переходим к равносильной системе:
1 + 6x >= 0 x >= -1/6
7 - 3x >= 0 x <= 7/3<br>7-3x <= (1+6x)^2 7 - 3x <= 1 + 12x + 36x^2<br>Решаем последнее неравенство:
36x^2 + 15x - 6 >= 0
12x^2 + 5x - 2 >= 0
D = 25 + 48 * 2 = 25 + 96 = 121
x1 = -16/24 = -8/12 = -4/6 = -2/3
x2 = 6/24 = 1/4