Третья задача в 9 билете , очень нужно , помогите пожалуйста

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Значит третья точка будет лежать на пересечения этих окружностей , тогда , пусть угол центральные углы , стягиваемые хорд (стороны треугольника) равны $a;b$ соответственно большего и меньшего , тогда по теореме косинусов (равны потому что треугольник правильный)
$2*77^2-2*77^2*cosa=2*14^2-2*14^2*cosb$
Проведем общую касательную к этим окружностям , тогда в сумме
$a+b=60а*2$ (угол между секущей и касательной , равен половине дуги стягиваемой хордой )
   $11858-11858*cosa = 392-392*cos( \frac{2\pi}{3}-a)$
откуда    $a=2arctg( \frac{1}{ 4\sqrt{3}})\\ cosa= \frac{47}{49}\\ \sqrt{11858-11858* \frac{47}{49}} = \sqrt{484} = 22$

Матов_zn (224k баллов) 02 Апр, 18

oganesbagoyan_zn · Answer 1 · 2018-04-01T23:00:05+0000

Пусть точка касания двух окружностей К , эта одна из вершин , две другие
A∈(O₁;R₁) , B ∈ (O₂;R₂) .
Длина стороны правильного треугольника  обозначаем через  x (KA=KB=AB =x).
Из ΔO₁KA :    x = 2R₁cosα  ;
Из ΔO₂KB:   x =2R₂cosβ ;
2R₁cosα =2R₂cosβ , но  α+β +60° =180° ⇒ β =120° -α .
R₁cosα = R₂cos(120° -α) ;
14cosα =77(cos120°cosα +sin120°sinα) ;
2cosα = 11( -cosα/2 +√3/2*sinα) ;
4cosα = -11cosα+11√3*sinα ;
15cosα =11√3sinα ;
tqα =5√3/11 ⇒ cosα= 1/√(1+tq²α) =1/√(1+(5√3/11)²) =1/√((121+75)/11²) =11/14.
окончательно  :
x = 2R₁cosα =2*14*11/14 =22.
ответ:   22.