Y=(x+1)/((x-1)^2) 1)исследовать ** четность/нечетность 2)указать промежутки монотонности...

0 голосов
41 просмотров

Y=(x+1)/((x-1)^2) 1)исследовать на четность/нечетность 2)указать промежутки монотонности функции и найти точки экстремумов 3)найти уравнения вертикальных и наклонных ассимптот, используя условия для существования этих ассимптот. построить эти линии на координатной плоскости 4)исследовать поведение функции на концах области определения

image
Математика (34 баллов) | 41 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

f(x)=\frac{(x+1)}{(x-1)^2}

ООФ:

(x-1)^2\neq0\Rightarrow x-1\neq0\Rightarrow x\neq1\Rightarrow x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) x=1 - вертикальная ассимптота.

Чётность/нечётность:

f(x)=\frac{(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{x^2-2x+1}\\ f(-x)=\frac{(-x+1)}{(-x-1)^2}=\frac{-x+1}{x^2+2x+1}\neq-f(x)\neq f(x)

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Экстремумы и монотонности:

f'(x)=\left(\frac{x+1}{(x-1)^2}\right)'=\frac{(x-1)^2-(x+1)(2x-2)}{(x-1)^4}=\frac{-x^2-2x+3}{(x-1)^4}=0\\x_1=1\\-x^2-2x+3=0\\D=4+4\cdot1\cdt3=16\\x_2=\frac{2+4}{-2}=-4\\x_3=\frac{2-4}{-2}=1

Получаем, что при x<-2 функция убывает, при <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%28-2%3B1%29%2C%281%3B%2B%5Cinfty%29" id="TexFormula5" title="x=(-2;1),(1;+\infty)" alt="x=(-2;1),(1;+\infty)" align="absmiddle" class="latex-formula"> - возрастает. То есть, x=-2 - точка минимума.

Наклонные ассимптоты:

y=kx+b\\k=$\lim\limits_{x\to \pm\infty}=$\lim\limits_{x\to \pm\infty}\frac{x+1}{(x-1)^2}\cdot1x=0\\b=$\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)=$\lim\limits_{x\to \pm\infty}\frac{x+1}{(x-1)^2}=$\lim\limits_{x\to \pm\infty}\frac{x(1+\frac1x)}{x^2(1-\frac1x)}=$\lim\limits_{x\to \pm\infty}\frac1x=0

Следовательно, ни наклонных, ни вертикальных ассимптот функция не имеет.

 

(317k баллов)
Похожие задачи