Примеры не буду переписать Я еще вчера решил
а) f '(x) =(7x² -56x +8) ' =(7x²) ' -(56 x)' +(8) ' =7*(x²) ' -56(x)' +0 =14x -56 =14(x-4) ;
f '(4) =14(4 -4) = 0.
б) f '(x) =(√x -16x) ' =(x^(1/2) -16x)'= (x^(1/2))' -(16x)' =1/2*x^(-1/2) -16(x)' =1/2*1/(x)^(1/2) -16
=1/(2√x) -16 ; f '(1/4) =1/(2√(1/4)) -16 = 1 -16 = -15 .
в) f '(x) = ((4x-7) ' *(x² +4) - (4x -7)*(x² +4) ' ) /(x² +4)² = ( 4(x² +4) - (4x -7)*2x)/(x² +4)² =
= (-4x² +14x +16)/(x² +4)² ; f '(0) =( -4*0² +14*0 +16)/(0² +4)² =16/16 =1.
г) f'(x) = (cosx+ctqx) ' = (cosx) ' +(ctqx) ' = - sinx -1/sin²x ; f'(π/2) = -sin(π/2) - 1/sin²(π/2) = -1 -1/1² =-1 -1 = -2.
д) f '(x) =(sin2x) ' = cos2x*(2x) ' = cos2x*2*(x) ' =cos2x*2*1 =2cos2x ;
f '(π/2) =2cos2*π/2 =2cosπ =2*(-1) = -2 .
2) f '( x) = (1/4*x^4 -1/2*x² +5) = 1/4*4*x³ -1/2*2*x +0 =x³ -x =x(x² -1) =x(x-1)(x+1) .
f '( x) =(x+1)x(x-1).
f'(x) - + - +
--------------- - 1 ---------------------- 0 ------------------ 1 ----------
f(x) ↓ min ↑ max ↓ min ↑
Функция возрастает(↑) x∈[-1 ;0] ; убывает(↓) x∈ [0 ; 1] ⇒ x= 0 точка максимума . f ( 0) = 1/4*(0^4) -1/2*(0)² +5 =5.
3) f(x) =x +4/x² ; min f(x) -->
f'(x) =(x +4/x² ) ' =(x )' +(4*x^(-2))' =1 + 4 *(-2) *x^(-3) =1 -8/x³ =(x³ -8)/x³ =(x-2)(x² +2x+4)/x³ .
x = 0 ∉ ООФ . f'(x) = 0 ⇒x =2 ; Если x<2 , то f'(x)<0 ,а если x>2 то f'(x)>0
(функция убывает потом возрастает )⇒x=2 точка минимума .
f(2) =2 +4/2² =2 +1 =3.
4) f'(x) = (-1/3*x³ +4x² -15x) ' = -x² +8x -15 = -(x² -8x+15) = -(x+5)(x+3) ;
функция возрастает если f'(x) ≥ 0 :
- (x+5)(x+3) ≥ 0 ⇔ (x+5)(x+3) ≤ 0 ⇒x∈[ -5 ; -3] .
Длина конечного интервала = (-3) -(-5) =2 .
5) f(x) = 5x² -3x+2 ; xo =2 .
угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой xo :
k =tqα =f '(xo) ;
f'(x) =(5x² -3x+2) ' =10x -3 ;
k = f '(2) =10*2 -3 =17.
***************************************************************************
3) f(x) =(x² +3x)/(1 -x) ; min f(x) -->
f'(x) =((x² +3x)/(1 -x))' =((2x +3)*(1-x) - (-1)(x²+3x))/(1-x)² = -(x²-2x -3)/(x-1)² = -(x+1)(x-3)/(x-1)² .
x = 1 ∉ ООФ . f'(x) = 0 ⇒x = -1 , x=3 ; Если x< -1 , то f'(x)<0 ,а если x> -1 то f'(x)>0
(функция убывает потом возрастает )⇒x= -1 точка минимума .
f(-1) =((-1)² +3*(-1))/(1-(-1)) = -1.
4) f(x) =x^4 -4x³ -20x² ;
f'(x) = (x^4 -4x³ -20x²) ' = 4x³ -4*3x² -20*2x=4x(x² -3x -10)=4x(x+2)(x-5);
функция возрастает если f'(x) ≥ 0 :
4x (x+2)(x- 5) ≥ 0 ⇔ (x+2)*x*(x-5) ≥ 0 ⇒x∈[ -2 ; 0] U [5 ;∞).
Длина конечного интервала = (0) -(-2) =2 .
5) f(x) = 3x -x³ ; xo = -2 .
угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой xo :
k =tqα =f '(xo) ;
f'(x) =(3x -x³) ' =(3x)' -(x³) ' =3(x)' - 3x² =3*1 -3x² =3(1-x²) ;
k = f '(-2) =3(1 - (-2)²) = 3(1 - 4) = 3*(-3) = -9.