Найти все корни уравнения 3(sinx+cosx)=2sin2x

Question

Найти все корни уравнения 3(sinx+cosx)=2sin2x

Comments

сначала неверное решение3(sinx+cosx)=2sin2x9(1+sin(2x))=4*sin^2(2x)sin2x=t4*t^2-9t-9=0d=81+4*4*9=225t1=(9+15)/8 >1 - лишний кореньt2=(9-15)/8 =-3/4sin2x=-3/42х є {-arcsin(3/4)+2*pi*k;pi+arcsin(3/4)+2*pi*k}х є {-arcsin(3/4)/2+pi*k;pi/2+arcsin(3/4)/2+pi*k}

---

неверное оно потому что нужно отсеять половину корнейответ должен быть такойх є {-arcsin(3/4)/2+pi+2*pi*k;3*pi/2+arcsin(3/4)/2+2*pi*k}

Answer 1

3(sinx+cosx)=2sin2x
x=pi/4+y
3(sin (pi/4+y) +cos(pi/4+y) )=2sin(pi/2+2y)
3(sin (pi/4)*cos(y)+cos(pi/4)sin(y) + sin (pi/4)*cos(y)-cos(pi/4)sin(y))=2cos(2y)6*sin (pi/4)*cos(y)=2cos(2y)=4*cos^2(y)-2
3*корень(2)*cos(y)= 4*cos^2(y)-2
4*cos^2(y)- 3*корень(2)*cos(y)-2=0
cos(y)=t
4*t^2- 3*корень(2)*t-2=0
 d=18+4*4*2=50
t=cos(y)= (3*корень(2)+5*корень(2))/8= корень(2) – лишний корень
t=cos(y)= (3*корень(2)-5*корень(2))/8= - корень(2)/4
у=pi ± arcos(корень(2)/4 )+2*pi*k;
x=pi/4+y = pi/4+ pi ± arcos(корень(2)/4 )+2*pi*k- это ответ