Ну решение конечно ну очень трудное!!!
Разность степеней целых чисел равносильно следующим случаям:
Пусть x и y-натуральные числа.
При четном n очевидно что:
(+-x)^n-(+-y)^n=91
x^n-y^n=91
При нечетном n:
1) x^n-y^n=91
2) (-x)^n-y^n=91
-x^n-y^n<0 (искомый случай невозможен)<br>3) x^n-(-y)^n=x^n+y^n=91
4) (-x)^n-(-y)^n=y^n-x^n=91 (По своему характеру аналогичен случаю 1) )
Итак у нас в общем итоге два случая:
1) x^n-y^n=91
2) x^n+y^n=91
где x,y-натуральные числа.
Рассмотрим 1 случай:
Очевидно что x>y:
Тогда по формуле разности степеней получим:
x^n-y^n=(x-y)*(x^n-1+x^n-2*y....+y^n-2*x+y^n-1)=91
Правая скобка является делителем числа 91. То есть она может быть равна: {1,7,13,91}
тк x≠y то тк n>3 и x,y-натуральные числа
то очевидно :
x^n-1+x^n-2*y....+y^n-2*x+y^n-1>=x^3+x^2*y+x*y^2+y^3>=2^3+2^2*1+2*1+1=
=15>13
А значит: x^n-1+x^n-2*y....+y^n-2*x+y^n-1=91
x-y=1
Положим что y>2 тогда:
x^n-1+x^n-2*y....+y^n-2*x+y^n-1>=x^3+x^2*y+x*y^2+y^3>=
>=3^3+3^2*4+3*4^2+4^3=175>91
Значит y=1 или 2
при y=1 x=2
2^n-1=91
2^n=92 (неверно)
при y=2 x=3
3^n-2^n=91
при n=4 не выполняется.
Тогда n>4
3^n-2^n>=3^5-2^5=211>91.
(То есть такой случай невозможен)
2) Осталось рассмотреть случай:
x^n+y^n=91
Положив что x,y>1
x^n+y^n>=2^4+3^4=97>91
То есть x=1 или y значения не имеет:
x^n=90 (Невозможно)
Значит 91 в виде разности степеней не раскладывается.