А шапка осталась лежать в сугробе.
а) А - союз, шапка - имя сущ., осталась - глагол, лежать - глагол, в - предлог, сугробе - имя сущ.
б) шапка - подлежащее, осталась лежать - составное глагольное сказуемое.
в) лежать в сугробе (в чём? предложный падеж).