Решить систему неравенств: {24-3x/(8+(5-2x))>=0 22-9x<=43-2x

Question

Решить систему неравенств:
{24-3x/(8+(5-2x))>=0
22-9x<=43-2x

Answer 1

Решение:
Нужно решить каждое неравенство системы в отдельности, а затем найти пересечение их решений.
1) Решим первое неравенство системы:
24-3x/(8+(5-2x)²⩾0
числитель: 24-3x=0
-3х⩾-24
3х≤24
х≤8
знаменатель:
(8+(5-2x)²≥0
8+(5−2x)²=8+25−20x+4x²= Приведение подобных: 33−20x+4x²=4x²−20x+33
D=a²-4bc=(-20)²-4*4*33=400-528=-128
D>0
Корней нет, следовательно 4x2−20x+33>0 для любых x
Наносим точки на числовую ось (рис. 1)
x∈(−∞;8]
2) Решим второе неравенство:
22-9x≤43-2x
-9х+2х≤43-22
-7х≤21
х≥ -3
Наносим точки на числовую ось (рис. 2)
x∈[−3;+∞)

3) Наносим найденные интервалы на числовую ось и находим их пересечение (рис. 3)
Ответ:x∈[−3;8]

Answer 2

Первая часть системы означает, что либо числитель = 0, либо числитель и знаменатель одновременно больше нуля, либо что они одновременно меньше нуля:
1. 24-3х≥0
8+5-2х≥0

х≤8
х≤6,5

2. 24-3х≤0
8+5-2х≤0

х≥8
х≥6,5

3. 24-3х = 0
х = 8

Теперь рассмотрим вторую систему: 22-43≤-2х+9х
7х≥-21
х≥-3

Итого, у нас есть 3 части:
1. х≤6,5 ∪ х≥-3. -3≤x≤6
2. х≥8 ∪ x≥-3. х≥8
3. x = 8 ∪ x≥-3. x = 8

Ответ: х ∈ (-3;6) ∪ (8;+∞)