Y=cos²x - √3 sin 2x
2
1) Производная:
y' = (cos²x)' - (√3 sin 2x)' = -2cosx sinx - √3 * 2 cos 2x =
2 2
=-2sinx cosx - √3 cos 2x
2) Стационарные точки (f ' (x)=0):
-2sinx cosx - √3 cos 2x=0
-2sinx cosx - √3(cos²x - sin²x)=0
-2sinx cosx - √3 cos²x +√3 sin²x=0
√3 sin²x - √3 cos²x - 2sinx cosx = 0
cos²x cos²x cos²x cos²x
√3 tg²x - √3 - 2 tgx=0
√3 tg²x - 2tgx -√3 =0
Пусть tgx=y
√3 y²-2y-√3=0
D=4-4*√3 * (-√3)=4+12=16
y₁= 2-4 = - 1 = -√3
2√3 √3 3
y₂=2+4 = 3 = 3√3 =√3
2√3 √3 3
tgx= -√3
3
x=arctg(-√3)+πn
3
x=- π +πn
6
tgx=√3
x=arctg √3 +πn
x= π +πn
3
3) Отметим точки на числовой прямой и расставим знаки производной:
+ - +
---------- -π ----------- π --------------
6 3
при х= π -2sin 2*π - √3 cos 2 * π =-2sin π -√3 cos π=√3
2 2 2
при х=0 -2 sin 2*0 - √3 cos 2*0=0 - √3= -√3
при х= -π -2 sin 2 *(-π) -√3cos 2*(-π) =-2sin(-π) -√3cos(-π) =√3
2 2 2
4) x=-π - точка максимума функции
6
х=π - точка минимума функции
3
Ymax=cos²(-π) - √3 sin 2 *(-π) = (√3)² - √3 sin(-π) =3 + √3 * √3 = 6
6 2 6 2 2 6 4 2 2 4
Ymin=cos² π - √3 sin 2 * π = (1)² - √3 * √3 = 1 - 3 = - 2
3 2 3 2 2 2 4 4 4
Ymax + Ymin = 6 - 2 = 1
4 4
Ответ: 2 вариант (1).