Решение
a) y = (1/3)*x - (x³)
Находим промежутки возрастания и убывания функции:
Найдём первую производную:
f'(x) =1/3 - 3x²
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
-9x² + 1 = 0
Откуда:
x₁ = -1/3
x₂ = 1/3
(-∞ ;-1/3) f'(x) < 0 функция убывает
(-1/3; 1/3) f'(x) > 0 функция возрастает
(1/3; +∞) f'(x) < 0 функция убывает
В окрестности точки x = -1/3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -1/3 - точка минимума. В окрестности точки x = 1/3 производная функции меняет знак с (+) на (-).
Следовательно, точка x = 1/3 - точка максимума.
б) y = (x² + 1) / (x² - 3)
Найдем точки разрыва функции.
x² - 3 = 0
x² = 3
x₁ = - √3
x₂ = √3
Находим промежутки возрастания и убывания функции:
Находим первую производную.
y` = [2x(x² - 3) - 2x(x² + 1)] / (x² - 3)² = (2x³ - 6x - 2x³ - 2x) / (x² - 3)² =
= (- 8x) / (x² - 3)²
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
- 8x = 0
Откуда:
x₁ = 0
(- ∞; - √3) f'(x) > 0 функция возрастает
(- √3; 0) f'(x) > 0 функция возрастает
(0 ; √3) f'(x) < 0 функция убывает
(√3 ; +∞) f'(x) < 0 функция убывает
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 0 - точка максимума.